第五章
赫倫的三角形面積公式
（約公元75年）
阿基米德之后的古典數學
阿基米德在數學景觀上投下了長長的影子。其后的古代數學家雖然都有自己的建樹，但卻沒有一個人能夠比得上敘拉古城這位偉大的數學家，隨著希臘文明的衰落和羅馬的同時興起，事情益發明顯。阿基米德死于羅馬人之手，預示了以后所發生的事情，這種看法也許有點兒簡單化，但并非沒有道理。希臘人專注于自己的理念世界，在羅馬強大的軍事力量面前，確實不堪一擊，而羅馬人則忙于建立政治秩序和征服世界，完全無視希臘人熱中的抽象思維。如同對阿基米德一樣，羅馬新秩序同樣也不能容許希臘傳統的存在。
一些資料也許有助于我們的認識。我們已看到，敘拉古城于公元前212年陷落于羅馬的馬塞盧斯之手。三次殘酷的布匿戰爭最終以公元前146年羅馬消滅迦太基而告終，羅馬人從此確立了對中地中海兩岸的控制。同一年，希臘的最后一座重要城邦科林斯向羅馬軍投降。一百年后，尤利烏斯·凱撒征服了高盧；公元前30年，在安東尼與克婁巴特拉的統治失敗后，埃及落入屋大維之手。甚至野蠻的不列顛也于公元30年臣服于羅馬。自此，羅馬正式成為帝國，對西方世界行使著史無前例的統治。
隨著羅馬的征服，他們復雜的工程項目也隨之發展起來：橋梁、道路和溝渠遍布歐洲大陸。然而，曾強烈吸引希波克拉底、歐幾里得和阿基米德的純粹數學卻未能像以前那樣興盛。
但是，依然保持輝煌的是亞歷山大圖書館。這座環境優美的圖書館吸引了地中海地區最優秀的學者，是一個最令人興奮的地方。阿基米德的一位同時代人，著名數學家厄拉多塞（公元前約284—192年）就曾大半生在這里擔任館長。厄拉多塞身居學術要職，是一位閱讀廣泛、著作等身的學者，許多關于純數學、哲學、地理學，特別是天文學的著作都出自他的手，這最后一項，不僅包括許多學術論文，而且還包括一部題為《赫耳墨斯》的長詩，將天文學的基本知識寫成了詩歌！像眾多的古代著作家一樣，厄拉多塞的著作大部分散失了，我們只能依靠后來注釋者的描述來了解他。但他身為當時的學界名流，似乎是沒有疑問的。阿基米德至少有一篇著作是題獻給厄拉多塞的，并視其為一個偉大的天才。
厄拉多塞的一大貢獻是他著名的“篩法”，這是一種尋找素數的簡便方法。為了用厄拉多塞篩法選出素數，我們首先寫下從2開始的連續正整數。請注意，2是第一個素數，然后我們依次劃掉后面所有2的倍數，即4、6、8、10等。越過2，下一個沒有劃掉的整數是3，這一定是第二個素數。我們現在再劃掉所有3的倍數——6
�。m然它已經被劃掉了）、9、12、15等。下面我們來看，4已經被劃掉了，于是，下一個素數是5；我們再劃掉表中所有5的倍數——10、15、20、25等。如此循序漸進。顯然，我們劃掉的數字都是較小整數的倍數，它們都不是素數，因而，都被篩掉了。而另一方面，素數卻永遠不會被篩掉，它們將成為我們表中唯一剩下的數字：
用厄拉多塞篩法，可以自然而然地產生100以下的所有素數。但要找出，比如說，100萬億以下的所有素數，用這種方法顯然就非常困難了，但現代計算機運用這一古老方法，卻有極大收獲。
厄拉多塞最著名的科學成就也許是他對地球周長的測定。雖然有許多文字描述了他的這一計算，但由于找不到他的原始論文《論地球的測量》，我們還不能肯定厄拉多塞究竟用的是什么方法。但是，據說，他運用了一些地理數據和一個非常簡單的幾何圖形，具體如下：
在埃及亞歷山大以南，今天的阿斯旺附近，有一座城市叫賽伊尼。在夏季第一天的中午，賽伊尼處的太陽直射地面。如果此刻有人往井里看，就會感到水面反射的太陽非常刺眼，從而證實了太陽的直射。但在同一天的同一時刻，亞歷山大處的竹竿卻投下一個短影。厄拉多塞注意到，從竹
圖5.1）。假設亞歷山大位于賽伊尼的正北（這大體正確），而且，因太陽距離地球十分遙遠，假設陽光射到地球是平行的（又一個合理的假設），厄拉多塞根據《原本》的命題Ⅰ.29，判定內錯角∠AOS等于∠a，而O則代表球狀地球的球心，如圖5.1所示。最后的已知條件是測得這兩座城市之間的距離為5000斯達地。因此，我們得到比例
斯達地。至此，讀者肯定會問：“一斯達地是多長？”厄拉多塞所用單位究竟多長已無從考訂，只能冒險地引用估計值，即一斯達地約等于516.73英尺。利用這一數字，可以得出厄拉多塞計算的地球周長為129，182，500英尺，或約24，466英里。目前公認的地球周長為24，860英里，所以，厄拉多塞的計算結果非常接近此值。實際上，由于這個數字太精確了，以致一些學者懷疑其真實性，或者至少同意托馬斯·希思爵士的觀點：厄拉多塞給了我們“一個令人驚奇的近似值，不論其在多大程度上歸因于計算中的偶然�！�
暫且拋開這些懷疑不談，厄拉多塞的推理方法還是值得我們注意的，這不僅是因為其巧妙，而且還因為，無論如何，他堅信我們的地球是一個球體。而1500年后的歐洲水手卻還懼怕從扁平大地的邊沿掉下去。我們有時忘記了古希臘人已完全意識到地球的球體形狀，如果后來的水手還睜大雙眼，搜尋地平線的邊緣，這與其說是學問太少，不如說是記性不佳。
另外，還有兩位阿基米德之后的數學家值得介紹。其中一位是阿波羅尼奧斯（公元前約262—190年），他也是阿基米德同時代人，也曾到過亞歷山大，在那充滿學術氣氛的環境里學習、工作。他在那里完成了他的代表作《圓錐曲線》，這是一部廣泛討論所謂圓錐曲線的巨著，涉及橢圓、拋物線和雙曲線（圖5.2）。雖然古希臘數學家曾深入研究過這些曲線，但阿波羅尼奧斯重新整理了前人的工作，使之系統化、條理化。這種情形，很像歐幾里得編著《原本》的情況�！秷A錐曲線》共有八篇，前四篇系統敘述了圓錐曲線的基本原理，后三篇討論了更專業化的問題，第八篇現已失傳。
即使在古代，阿波羅尼奧斯的著作也被公認為是圓錐曲線問題的權威論述，而且，在文藝復興期間被重新發現后，亦得到了很高的評價。當約翰·開普勒（1571—1630年）提出他關于行星以橢圓形軌道圍繞太陽運動的獨創性理論時，圓錐曲線的重要性得到了證實。橢圓絕不僅是古希臘數學家手中把玩的珍品，它已成為地球，乃至地球上我們全體人類運行的軌道。大約一百年后，因發現彗星而聲名大噪的英國科學家埃德蒙·哈雷用了幾年時間來編定《圓錐曲線》的最后定本，并對這一古典數學著作推崇備至。今天，這部巨著與歐幾里得的《原本》和阿基米德的著作并列，成為古希臘數學的里程碑。
最后一位古代數學家與本章的偉大定理有關，他就是亞歷山大（還能是哪里呢？）的赫倫。一些現代書把他的名字寫成“希羅”（Hero，即英雄之意——譯注），這主要是因翻譯造成的，而不是他自命不凡。遺憾的是，我們對他的生平知之甚少，甚至對他的生卒年月也頗多爭議。不過可以肯定地說，赫倫是在阿波羅尼奧斯之后，但更確切的日期就有待于一位天才像偵探小說里經常描寫的那樣去推斷了。我們采用了霍華德·伊夫斯的觀點，確定赫倫的活動時期為公元75年前后。
盡管我們對赫倫的生平知之甚少，甚至不知是否相差了150年，但學者們卻擁有大量關于赫倫數學的資料。赫倫的興趣主要是在實踐方面，而不是理論，他的許多著作都涉及了非常有用的實用科學，如機械學、工程學和測量學。他的這種側重反映了希臘人與羅馬人興趣的截然不同。例如，赫倫在其《經緯儀》一書中介紹了挖掘穿山隧道及計算泉水流量的方法。在另一部著作中，他回答了一些日常生活問題，例如“為什么用膝蓋在一根木棍的中間用力頂，木棍會折斷？”或者“為什么人們用鉗子而不用手拔牙？”
然而，有趣的是他關于三角形面積的命題。這一命題像赫倫的其他許多課題一樣，明顯地帶有實用性，但他對這一命題的證明卻是一篇出色的幾何抽象推理。這條命題是赫倫《量度》一書中的命題Ⅰ.8，這一重要著作的發現還有一段有趣的歷史。數學家們早就知道有這樣一篇論文存在，因為評注家歐托休斯早在公元6世紀時就曾提到過這部著作，但人們卻找不到它的下落。它就像恐龍一般神秘地消失了。1894年，數學史家保羅·坦納利在一個13世紀巴黎人的手稿中偶然發現了這篇論文的片段。更幸運的是，兩年后，R.舍內在君士坦丁堡發現了這部著作的全部手稿。這樣，現代人才有幸目睹《量度》一書的全貌。
偉大的定理：赫倫的三角形面積公式
我們已知，赫倫的公式涉及三角形面積。這個公式似乎完全不必要，
（高），而且已得到了廣泛的應用。但是，如果用這個公式去求圖5.3中三角形的面積就沒有什么意義了，因為我們還不知三角形的高。
首先，應當指出，已知一個三角形的三條邊，則其面積一定是確定的。這可以直接從“邊邊邊”全等定理（歐幾里得，命題1.8）中推導出來，因為我們知道，任何邊長等于（比如）17、25和26的其他三角形，一定與圖5.3中的三角形全等，因此，其面積也完全相等。所以，如果我們知道三角形的三條邊，我們也就知道一定有一個，并且只有一個面積值。
但是，如何確定這一面積值呢？今天仍像兩千年前一樣，最簡便的方法是應用赫倫的公式，其公式用現代符號表示，就是：
如果K是邊長等于a、b、c的三角形的面積，那么，
請注意，在應用赫倫的公式時，我們只要知道三角形的三條邊就足夠了；我們無須求出三角形的高。
這是一個非常特殊的公式，乍看之下，人們會感到是不是印刷有誤。公式中出現的平方根和半周長似乎非常奇怪，這個公式完全沒有直觀感染力。然而，作為一項偉大的定理，引起我們注意的不僅有它的奇特，還有赫倫為此所作的證明。他的證明既非常曲折，令人驚嘆，又非常巧妙。在某種意義上說，他的證明是很初等的，因為他只用了一些簡單的平面幾何概念——也就是說，只用了一些“元素”。但是，赫倫展示了他精湛的幾何技巧，將這些元素組合成一個非常豐富而漂亮的證明，堪稱數學中一個令人嘆為觀止的結論。赫倫的證明就像阿加莎·克里斯蒂的偵探小說一樣，讀者一直讀到最后幾行可能還弄不清問題如何解決。但我們不必著急，他最后的幾步推理，將這一證明推向了高潮。
在介紹這一證明之前，我們有必要先介紹一些赫倫論證所依據的初步命題。前兩個初步命題出自歐幾里得的《原本》。
命題1 三角形的角平分線交于一點，這個交點是三角形外接圓的圓心�！�
這一命題出自歐幾里得《原本》的命題Ⅳ.4。三角形三條角平分線的交點（即三角形外接圓的圓心）恰當地叫做內心�！�
命題2 一個直角三角形，如果從直角作斜邊的垂線，則垂線兩邊的三角形分別與整個三角形相似，并互相相似�！�
讀者將會發現，這一命題出自《原本》的命題Ⅳ.8，我們在第三章中曾討論過這一命題。
下面的定理雖然也非常著名，但沒有編入歐幾里得的《原本》。為了保持完整，我們同時附加了定理的簡單證明。
命題3 在直角三角形中，斜邊的中點與三個角的頂點距離相等。
證明 首先設直角三角形BAC（圖5.4），平分AB邊于D，作DM垂
∠ACM=1個直角-∠MBD=1個直角-∠MAD=∠MAC
所以，△MAC是等腰
我們斷定，斜邊的中點M與直角三角形三個角的頂點距離相等。 證訖。
我們最后的兩個初步命題涉及到聯圓四邊形，也就是圓內接四邊形�！�
命題4 已知AHBO是一個四邊形，作對角線AB和OH，如果∠HAB與∠HOB是直角（如圖5.5所示），則可以過四個頂點A、O、B、和H作一個圓�！�
證明 這是從前一個命題中直接推導出來的一個特殊命題。如果我們平分BH于M，我們注意到，M是直角三角形BAH與直角三角形BOH的共同斜邊上的中點。所以，M與A、O、B和H各點的距離相等，因而，以M
命題5 聯圓四邊形的對角和等于兩個直角�！�
這個命題出自《原本》的命題Ⅲ.22，其證明見第三章。
這五個命題不妨看作一個特殊的工具箱，帶給我們一個關于一般三角形面積的證明。但是，它們連同高度的技巧，只是赫倫在證明現在以他的名字命名的公式時所需要的“元素”。
定理 已知一個三角形，其邊分別為a、b和c，面積為K，我們得
證明 設任意三角形ABC，使AB邊至少不小于其他兩條邊。為了使赫倫的論證清晰易懂，我們將他的證明分成三大部分。
第一部分 赫倫的第一步就令人非常震驚，因為他首先作了一個三角形的內接圓。他用三角形內心作為確定其面積的關鍵因素，大大出人預料，因為圓的性質與三角形這種直線圖形的面積沒有直觀聯系。盡管如此，我
r， 如圖5.6所示。
現在，我們應用簡單的三角形面積公式，得到：
所以，K=面積（△ABC）=面積（△AOB）+面積（△BOC）+面積（△COA），或者，
我們看到，赫倫在三角形的面積K與其半周長s之間建立了聯系。這說明我們的方向走對了，但后面還有許多事情要做。
第二部分 我們繼續參照圖5.6，并回想一下第一個初步命題，即利用三角形三個角的平分線作內接圓。因此，△ABC可以分解為三對全等三角形，即
△AOD≌△AOF，△BOD≌△BOE，和△COE≌△COF，
這三對全等三角形，每一對都是根據“角角邊”全等定理確定的（歐幾里得，命題I.26）。然后，將各部分相對應，我們得到
而∠AOD=∠AOF，∠BOD=∠BOE，和∠COE=∠COF
因而，赫倫的線段BG的長度等于三角形的半周長，雖然“成了直線”。
可以很容易地得出
總之，半周長s與s-a、s-b和s-c三個量都等于圖中的線段。這也是富有啟發性的結論，因為這些量都是我們所求證公式的組成部分。赫倫剩下的工作就是要把這些“零件”組合成一個完整的證明。
第三部分 我們仍然設△ABC及其內接圓，但我們現在需要一個延伸圖，以說明赫倫的推理過程（圖5.7）。他先作OL垂直于OB，并交AB于K，然后作AM垂直于AB，交OL于H，最后，連接BH。
由此形成的四邊形AHBO，我們應該很熟悉。根據命題4，它實際上是一個聯圓四邊形；并且，根據命題5，我們知道，四邊形的對角和等于兩個直角。即，
∠AHB+∠AOB=兩個直角
現在，我們來看圍繞內心O的各角。根據第二部分的全等，這些角可以分解為三對相等角，所以，
2α+2β+2γ=四個直角 或等于
α+β+γ=兩個直角
但是， β+γ=∠AOB，因此，α+∠AOB=兩個直角=∠AHB+∠AOB。所以，α=∠AHB，這一點似乎是細枝末節，但在以下的推論中，將十分重要。
因為∠CFO與∠BAH都是直角，而且，根據上述推理α=∠AHB，所以，赫倫推斷△COF與△BHA相似。據此，我們可以推出比例
等式，并稱之為（*）。
赫倫還注意到，由于∠KAH與∠KDO都是直角，且對頂角∠AKH與∠DKO相等，因而，△KAH與△KDO也相似，并據此得出：
將這一等式的最后結果與上述等式（*）合在一起，就得出了一個重要等式，我們稱之為（**）。
至此，讀者難免會對這位數學家在這些無休無止的相似三角形中漫無目的地遨游感到不解。這種感覺到下一步時依然不會消失，因為赫倫在下一步又證明出了另外一對相似三角形。
△KDO與△ODB相似，因此，
現在，赫倫在等式（**）的兩邊分別加1，得
化為公分母，成為
然成立，得
最后，赫倫將這大量“零件”組合，迅速而巧妙地達成他所求證的結論。我們只需注意到，這最后一個等式的組成部分恰恰是第二部分所推導出的線段。將第二部分的結果代入，便得到
r2s2＝(s-c)(s)(s-a)(s-b）=s(s-a)(s-b)(s-c)
讓我們再回憶一下第一部分的結論，如果K代表我們三角形的面積，則rs=K。因此，最后代入上列等式，就得到了赫倫的公式：
這樣，我們就完成了初等幾何中一個最巧妙的證明。在證明過程中，他看似隨意地漫游，實際上始終朝著預定目標前進。這無疑是我們迄今為止所見到的最曲折的證明。很難想象，腦力的回旋竟然引導赫倫得出了這樣一個迂回曲折、令人驚嘆的證明�！�
后記
關于這一著名公式，歷史學家發現了一個離奇的事實。在一部寫于赫倫身后幾百年的古阿拉伯手稿中，伊斯蘭學者阿布·賴漢·穆罕默德·比魯尼認為，這一公式的發明不應歸功于赫倫，而應歸功于杰出的阿基米德。我們雖然沒有阿基米德的論文來支持這種觀點，但憑他的智力，本來完全可以推導出這樣一個定理。
另一方面，拋開歷史的本來面目不談，出于情感原因，我們不妨讓赫倫享有這一殊榮。如果將這個定理歸功于阿基米德，而不是赫倫，似乎對前者過于慷慨，對后者又過于殘酷，因為阿基米德的名聲在古代數學家中已經無與倫比；而赫倫的名聲在很大程度上卻依賴于這個定理。
眾所周知，赫倫的公式有其各種實用價值。測量員只要知道一塊三邊形地三條邊的長度，就很容易計算出這塊地的面積。對于四邊形或更多邊形的地，也不難分解成三角形的組合，進而求出面積。并且，利用赫倫的公式，還能夠推導出一個我們早已熟悉的定理，下面我們來看。
假設有一個直角三角形，其斜邊長度為a，兩個直角邊分別為b和c，如圖5.8所示。因而，其半周長為
同樣
代數運算進一步證明
(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
=[(b+c)+a][(b+c)-a][a-(b-c)][a+(b-c)]
=[(b+c)2-a2][a2-(b-c)2]
=a2(b+c)2-(b+c)2(b-c)2-a4+a2(b-c)2
簡化為 2a2b2+2a2c2+2b2c2-(a4+b4+c4)。
現在，我們再回到赫倫的公式，就得到三角形的面積為
另一方面，上述三角形的面積還可以簡寫成
將這兩個K等式合成一個方程式，并將方程式兩邊分別平方，得
然后，交叉相乘，得到
4b2c2=2a2b2+2a2c2+2b2c2-(a4+b4+c4)
現在，把所有各項都移到方程左邊，并合并同類項，得
(b4+2b2c2+c4)-2a2b2-2a2c2+a4=0 或簡化為
(b2+c2)2-2a2（b2+c2）+a4=0或再簡化為
[(b2+c2)-a2]2=0
從這一長串演算中，最后，我們可以得出(b2+c2)-a2=0，并可以化為我們所熟悉的形式 a2=b2+c2。這樣，赫倫的公式就為我們提供了另一個畢達哥拉斯定理的證明。當然，這個證明極其復雜，很像從波士頓繞道斯波坎到紐約，似乎有點兒不必要。盡管如此，能夠從赫倫古怪公式中發現對畢達哥拉斯定理的證明，雖然是間接的，畢竟值得注意。
歐幾里得、阿基米德、厄拉多塞、阿波羅尼奧斯、赫倫以及其他許多數學家都與亞歷山大學派有關，這一古代的科學中心歷久不衰。但是，即使羅馬帝國也不是永恒的，亞歷山大學派同樣如此。
亞歷山大圖書館從公元前約300年建立時起一直很活躍，直到公元529年被基督徒關閉（他們嫌惡圖書館收藏大量異教書籍）。公元641年，阿拉伯人最終將它付之一炬。雖然人們搶救出許多文獻，但古代文明仍在這場劫難中元氣大傷。其他古代遺跡，例如奇阿普斯（胡夫）的大金字塔、耶路撒冷的大衛廟和圖書館附近的法羅斯島燈塔，也有類似的命運。今天的考古學家面對這種知識與美的永久毀滅，只能嘆息再三。
數學活動從此結束了以亞歷山大為中心的歷史。從公元641年起，在以后的許多世紀中，阿拉伯數學家充當了古代數學的保護人，而他們本身，也是數學的創新者。阿拉伯帝國的故事當然應從穆罕默德（公元570—632年）開始，他最初默默無聞，繼而成為世界史中的重要人物。穆罕默德死于耶路撒冷之后150年，他所創立的宗教已從印度穿過波斯灣和中東，橫跨北非，一直擴展到西班牙南部。隨著地理版圖的擴大，伊斯蘭學者急切地從他們接觸到的許多文明中汲取知識。
這些知識之一是印度的數學，并從中產生了所謂“印度-阿拉伯”數系。這一數系遠比羅馬數系更先進，并取代了后者的地位，羅馬數字的應用只在表盤、版權日期和超級橄欖球賽中還保留下來。即使阿拉伯人再沒做其他事情，人們也會永志不忘他們傳播這一最有用數系的歷史功績。
當然，他們還有其他許多貢獻。早在9世紀初葉，阿拉伯人便開始翻譯希臘名著，并對這些著作做了有益的評注。他們于公元800年翻譯了《原本》，幾十年后，又翻譯出版了托勒密的名著《天文學大成》。這后一部著作寫于約公元150年，是古代天文學的總匯。它很像歐幾里得的《原本》，也是由13卷組成，包括論述日月蝕、太陽、行星和恒星的篇章，以及我們在第四章后記中所說到過的“弦值表”。托勒密還詳細闡明了他的太陽系模式，這是一個以地球為中心的模式，這一地心學說，在波蘭思想家哥白尼出現之前的1400年間，一直符合當時的科學與人類自尊的需要。阿拉伯人高度評價托勒密的著作，稱其為“Al magiste”（阿拉伯語，“最偉大”的意思），因而，我們今天稱這部巨著為“大成”（Almagest）。
后來，一位偉大的學者塔比特·伊本·戈拉（826—901年）精譯了阿基米德和阿波羅尼奧斯的著作，提供了非常忠實于原文的《原本》譯本。阿拉伯學術中心位于今天伊拉克的巴格達市，那里建有“智慧宮”，是進行學術活動的重地，其成員中有許多天文學家、數學家和翻譯家。數學界的中心以前在柏拉圖的學園和亞歷山大圖書館，現在轉移到巴格達，在那里保持了很長一段時間。
在最重要的阿拉伯數學家中，有一位數學家名叫穆罕默德·伊本·穆薩，胡瓦里茲米（公元約825年），他借鑒東西方的數學成就——包括印度數學家婆羅摩笈多和我們所知的古希臘數學家，寫出了一篇非常有影響的論代數和算術的論文。在這篇論文中，胡瓦里茲米不僅闡明了線性方程（一次方程）的解法，還闡明了曲線方程（二次方程）的解法。對于二次方程ax2+bx+c=0來說，其解為
但是，胡瓦里茲米完全是用文字，而不是用現今的簡明的代數符號來表達他的公式。然而，即使他沒有發明代數符號，但卻至少間接賦予了代數以名稱。胡瓦里茲米的主要論文題為“Hisb al-jabrw’almuqbalah”。400年后，這篇論文被翻譯成拉丁文，題目變為“Ludus algebrae et almucgrabalaeque”，最后，簡稱為“alge-bra”（代數）。
關于阿拉伯數學家的最大貢獻，始終存有爭議。一方面，他們在研究諸如歐幾里得和阿基米德這些巨人的著作時，始終未能跳出其窠臼。在阿拉伯數學家的著作中，我們看不到那種數學知識的巨大飛躍，而這乃是古希臘數學家歷代相沿的特點。特別是，阿拉伯數學家根本不認為“證明”是其數學的核心，在這個意義上，他們的數學酷似近東的希臘前文明。由于阿拉伯數學家不大重視將其成果歸納為一般原則，因而，本書沒有阿拉伯數學家的偉大定理。
但另一方面，阿拉伯數學家確曾普及了非常有用的數系，并對解各次方程問題作出了重大貢獻。此外，用霍華德·伊夫斯的話說，他們在歐洲沉睡的幾百年間，充當了“大量世界智力財富的監管人�！比绻麤]有這種偉大的服務，我們的許多古代文化知識，特別是古代數學知識，就有可能永遠湮沒無聞。
終于，阿拉伯人完成了他們作為歐幾里得和阿基米德知識監管人的使命，這些知識又逐漸返回了歐洲。當然，其中一個主要的動力是從11世紀末到13世紀中葉十字軍的一系列遠征，在這些遠征中，比較落后的西方基督教徒遭遇了比較先進的東方阿拉伯人。歐洲人雖然沒能從穆斯林教徒手中奪取圣地，但都大開眼界，認識了敵手的高度學養。
也許，更重要的是基督教徒對西班牙摩爾人和對西西里地區的征服。1085年，西班牙大城市托萊多陷落于基督教徒之手，幾年后，西西里也被歐洲人征服。歐洲人在進入這些被占領的土地后，發現了落敗的阿拉伯人的書籍和文獻。歐洲人進入了一個以往難以想象的知識王國，閑暇時鉆研一番，他們不僅領略了伊斯蘭敵手的學識，而且也發現了自己祖先的學術成就。影響是巨大的。
這些經典（柏拉圖和亞里士多德，當然還有歐幾里得的著作）的巨大影響始見于意大利的大學。1088年在博洛尼亞開辦了第一所大學，隨后又相繼在帕多瓦、那不勒斯、米蘭和其他地方辦起了大學。此后一二百年，意大利的學術氛圍從中世紀的深淵躍升至我們今天所稱的文藝復興的高點。
正是在16世紀的意大利，隨著阿拉伯人對古代文化的傳播和意大利學者的覺醒，產生了我們下一章的偉大定理：米蘭的杰羅拉莫·卡爾達諾及其奇異而令人難以置信的三次方程解。
