在劍橋大學孤獨的艾薩克·牛頓改變數學面貌的同時，歐洲大陸的其他數學家們也并非無所用心。17世紀后半葉，在笛卡兒、帕斯卡和費馬的影響下，歐洲的數學蓬勃發展，其中最偉大的數學家就是戈特弗里德·威廉·萊布尼茲（1646—1716年）。

　　人們常常稱萊布尼茲為全才，他精通多種學科，并在每個學科中都有所建樹。他的父親是一位倫理學教授。萊布尼茲堪稱神童，很小的時候就可以到他父親庋藏豐富的書房中去讀書。利用這一機會，小萊布尼茲幼年時便自學了拉丁文和希臘文。他如饑似渴地讀書，15歲就進入了萊比錫大學。他的學業進展神速，不足20歲時就在阿爾特多夫大學完成了他的博士論文。

　　雖然萊布尼茲的學術生涯很有前途，但他卻離開了大學，去為美因茨的選帝侯工作。當時的德國劃分為許多小的邦國，選帝侯是這些小邦國中的當權者。萊布尼茲在工作中審查了一些非常復雜的法律問題，包括神圣羅馬帝國的重大改革。在業余時間里，他設計了一臺計算機。這臺計算機的乘法運算是通過快速地重復相加進行的，同樣，其除法運算是通過快速重復相減進行的。雖然萊布尼茲努力宣傳其計算機的高效率，但當時的技術條件限制了這種計算機的推廣使用，這使萊布尼茲不免困惱。盡管如此，他的理論卻是可靠的，而最終也是可行的。

　　1672年，萊布尼茲作為高級外交使節被從德國派往巴黎。法國首都的文化生活令他深深地陶醉，在他附帶出訪倫敦和荷蘭時，這位年輕的天才又有幸結識了一些著名的學者，如胡克、博伊爾、列文虎克和哲學家斯賓諾莎。萊布尼茲發現自己處于一種活躍的學術環境之中。然而在1672年，甚至他也只得承認他的數學教育只限于閱讀了一些古典名著。具有強烈好奇心和很高天資的萊布尼茲感到自己需要一個“速成班”，以把握當代的數學趨勢和方向。

　　幸運的是，他在巴黎遇上了絕好的機會。有一位荷蘭科學家名叫克里斯蒂安·惠更斯（1629—1695年），他享受太陽王路易十四的津貼，一直住在巴黎�；莞�斯的研究成果給人印象至深。在理論方面，他對數學曲線，特別是對“旋輪線”作了廣泛的研究。所謂旋輪線，就是一個圓沿一定直線滾動時圓周上的一個定點所產生的軌跡曲線（見圖8.1）。他的發現在他設計鐘擺時起了很大作用，鐘擺的工作原理與旋輪曲線密切相關。

　　這一發明表明，惠更斯不僅僅關注純數學。實際上，他的聲譽或許主要建立在物理學和天文學方面，他研究了運動定律和離心力，并提出了高明的光波理論。而且，惠更斯還借助望遠鏡第一個解釋了土星周圍古怪的附屬物實際上是光環。

　　既然在巴黎有這樣一位科學家，那么，萊布尼茲向惠更斯請教，以提高自己的數學水平，就毫不奇怪了。如果說惠更斯是萊布尼茲的老師，也許有些夸大其詞，但他在研究當代數學方面，的確給了這位年輕的外交家許多指導。當然，在歷史上，老師也很少能有像戈特弗里德·威廉·萊布尼茲這樣優秀的學生。

　　惠更斯指導萊布尼茲研究的一個問題是求三角形數的倒數和。所謂三角形數，就是對應于三角形陣列的數字，如圖8.2所示。第一個三角形數

保齡球運動中，如果將滾道盡頭楔形排列的木柱改為10個一組，那么，就構成了標準的“三角形數”。三角形數

　　惠更斯要求萊布尼茲求出的不是三角形數的和，而是三角形數的倒數和�？傊�，他要求他年輕的學生求出S的值，在這里，
　　　　　　　　　　　　　　

　　萊布尼茲想了一會兒，就把方程的所有各項全都除以2，得
　　　　　　　　　　　　　　
　　
　　　　　　　　　　　

　　然后，萊布尼茲去掉括號，并約消化簡，得
　　　　　　　　　　　

　　如果說，S的一半等于1，那么，S本身（即三角形數的倒數和）就顯然等于2�？傊�，萊布尼茲非常巧妙地解決了惠更斯的挑戰，并發現

　　雖然現代數學家對萊布尼茲解無窮級數的方法持有一定的保留意見，但誰也不能否認他的方法的基本獨創性。

　　這僅僅是萊布尼茲對數學超凡洞察力的開始。不久，他又以其巨大的才智，研究牛頓在10年前論述的關于切線與面積的同一問題。1676年，萊布尼茲離開了巴黎，這時，他已經發現了微積分的基本原理。在巴黎生活的四年，使他從一個數學上初出茅廬的新手成長為一個數學巨人。

　　這四年雖然奠定了萊布尼茲永久名望的基礎，但同時也奠定了一場持久爭論的基礎。我們回想一下，艾薩克·牛頓的流數理論只有幾個英國數學家知道，只有他們幾個人見到過牛頓論流數法的手稿。1673年，萊布尼茲在訪問倫敦期間，被接受為英國皇家學會的外籍會員。在此，他見到了牛頓的一些文獻，并留下了很深的印象。后來，萊布尼茲通過皇家學會的秘書亨利·奧爾登伯格轉交給牛頓一封信，他在信中進一步詢問了牛頓的發現。偉大的英國科學家牛頓則以一種含混的方式作了答復。牛頓1676年這兩封著名的復信，我們今天稱之為“前書”和“后書”。萊布尼茲認真地閱讀了這兩封信。

　　因而，當戈特弗里德·威廉·萊布尼茲首次發表他的論文，宣布這一驚人的數學新方法時，他的英國對手則大叫“卑鄙！”萊布尼茲這篇論文的題目十分冗長，題為《一種對分式和無理量也適用的求極大值、極小值和切線的新方法以及非常規類型的有關計算》（簡稱《求極大值和極小值的新方法》）。這篇論文刊登在1684年的學術雜志《博學者學報》上，而萊布尼茲恰恰是這本雜志的編輯。

　　因此，世界是通過萊布尼茲，而不是通過牛頓得知微積分的。實際上，微積分的名稱就取自萊布尼茲一篇論文的題目。但是，袒護其同胞的英國人則轉彎抹角地說，萊布尼茲剽竊了牛頓的全部發明。萊布尼茲訪問過英國，他熟知牛頓手稿私下流傳的情況，而且，他還與牛頓通過信——所有這一切都使英國人相信，是惡棍萊布尼茲竊取了牛頓的榮譽。

　　隨后的爭執構成了數學史上不光彩的一頁。起初，兩位主角都企圖置身事外，而讓他們的支持者去為自己作戰。但是，最后雙方都卷了進去，當然，這種爭吵最后總是沒有好結果的。萊布尼茲坦率地承認，他通過通信和閱讀牛頓的手稿接觸過牛頓的思想，但是這些只給了他某些提示，而不是明確的方法；這些新的計算方法是萊布尼茲自己發現的。

　　與此同時，英國人變得越來越憤怒。而且，（從英國人的觀點來看）更糟糕的是，萊布尼茲的微積分很快便被歐洲所接受，并且，他的弟子還在努力擴大其影響；而孤獨的牛頓卻仍然拒絕發表任何有關微積分的論文。我們回想一下，牛頓早在1666年10月就寫出了他第一篇論流數法的論文，比萊布尼茲發表的論文早了將近20年；但是，直到1704年，牛頓才在其《光學》的附錄中專門論述了他的有關方法。1673年，在萊布尼茲訪問倫敦時，牛頓的一部更詳盡論述流數法的著作《分析》還在英國數學界中非正式流傳，直至1711年才正式付印出版。牛頓為提供一部“供學人使用的完整提要”，認真撰寫了一部專著，全面闡述了其已經成熟的思想，但這部著作直到1736年才問世，而這時艾薩克爵士已經逝世整整9年了！實際上，牛頓發表他數學論文的速度太慢了，以致萊布尼茲的一些狂熱的支持者可以宣稱是牛頓剽竊了萊布尼茲已出版的著作，而不是相反。

　　顯然，情況混亂不堪。魯珀特·霍爾在其《爭斗中的哲學家》一書中對英吉利海峽兩岸紛紛揚揚的指責與反駁作了詳盡而生動的描述。今天，飄蕩了近三百年的迷霧終于散去，人們公認，牛頓和萊布尼茲兩人實際上各自獨立地發展了同一種思想體系。在科學發展中，兩人或幾人同時發現某一重要概念的現象并不罕見，如我們在第二章中曾介紹過的非歐幾何的產生即是如此。自牛頓/萊布尼茲爭論150年后，生物界又出現了英國科學家艾爾弗雷德·拉塞爾·華萊士與查爾斯·達爾文同時創立自然選擇理論的問題。在這一事例中，達爾文《物種起源》產生了巨大影響，而華萊士的著作卻默默無聞，這可能就是達爾文流芳百世的原因。并且，進化論的兩位發現者都是英國人，因而排除了牛頓/萊布尼茲論爭中存在的民族情緒。

　　萊布尼茲一旦從有關微積分發明權的爭論中脫出身來，便致力于多種學科的研究。他在不倫瑞克公爵處謀得一個職位，著手追溯公爵的古老家世。他成為梵語和中國文化的專家。并且，他還繼續進行哲學研究，哲學一直是他最熱衷的學科。萊布尼茲根據“人類思維字母化”的設想，運用一種謹慎規定的“有理微積分”，尋求發展一種完善的形式邏輯體系。萊布尼茲希望人類能夠應用這一邏輯工具，擺脫充斥日常生活中的不準確和無理性。當然，這一切只能稱為偉大規劃，從未能夠實現，但他在這一方面的努力卻是朝著我們今日所謂“符號邏輯”的方向邁出的第一步。特別是，他應用代數公式替代邏輯敘述的方法是從古希臘文字推理的邏輯理論向前發展了一大步。

　　1700年，萊布尼茲成為創建柏林科學院的主要推動者。這一學者、作家和音樂家云集的機構意在為柏林吸引歐洲最偉大的思想家，使柏林躋身于思想中心之列。萊布尼茲榮幸地擔任了科學院的院長，直至逝世。

　　盡管柏林科學院的工作十分繁忙，但萊布尼茲并未因此而放棄研究。他繼續鉆研邏輯和哲學，并同時倡導世界宗教和政治體制的改革，希望能夠因此給人類帶來真正的和平與和諧。有趣的是，他最后幾年的保護人是漢諾威的一名貴族，1714年英國女王安妮逝世后，這位貴族竟然一躍成為英國國王喬治一世。萊布尼茲非常希望能夠跟隨喬治國王去英國，并擔任宮廷史學家，但喬治從未給他這種機會。如果微積分之戰的兩位主角——牛頓和萊布尼茲——同時都住在倫敦，事情一定會很精彩，但遺憾的是，情況并未如此。

　　萊布尼茲死于1716年。當時，他的許多朋友和漢諾威宮廷的同僚都去了英國；他自己的地位也已衰落；據說，只有一位忠實的仆人參加了這個偉人的葬禮。這與牛頓在英國的巨大威望形成了鮮明的對照。如我們在前一章所述，牛頓的崇高名望使他得以安葬在威斯敏斯特教堂。牛頓的崇高聲望無疑是當之無愧的，但萊布尼茲也應享有同樣的榮譽。

　　比較一下這兩位微積分的偉大發明者，就可以看到一個突出的事實。在一定意義上說，牛頓把他的流數法帶入了墳墓。孤獨、厭世的艾薩克爵士直到他最后的時日都始終未能有一群聰敏的弟子環伺左右，渴望學習、完善、并傳播他的著作。相形之下，萊布尼茲的幸運之處就在于，他有兩個最熱心的弟子，即瑞士的雅各布·伯努利和約翰·伯努利兄弟，他們成為在歐洲傳播和推廣微積分的主要人物。他們的努力，也許和萊布尼茲自己的努力一樣，令微積分呈現了保留至今的韻味與面貌。

　　雅各布·伯努利（1654—1705年）在兩兄弟中居長，是一位天才的數學家，他對微積分、無窮級數的求和，也許最重要的，是對概率論的形成作出了重要的貢獻。我們已知道，概率這一數學分支是如何在16世紀經卡爾達諾首先提出的，又是如何在17世紀中葉經費馬和帕斯卡的共同努力而發展的。1713年，雅各布死后出版的巨著《猜度術》為概率論的發展建立了又一個里程碑。這部巨著不但鞏固了前人的發現，而且還把概率論研究提到了新的高度。這部巨著是雅各布·伯努利的名作。

　　同時，弟弟約翰（1667—1748年）在數學上也自成一家。約翰·伯努利以其坦誠的熱情，承擔起在歐洲傳播萊布尼茲微積分的重任。約翰經常與他的德國老師通信，在與牛頓派英國人的論爭中隨時準備捍衛萊布尼茲的名望。我們可以回想一下，19世紀中葉，托馬斯·赫胥黎面對宗教界的攻擊，勇敢地保衛了偉大的博物學家達爾文的學說，并由此贏得了“達爾文的斗牛犬”的稱號，我們也可以出于同樣的理由稱約翰·伯努利為“萊布尼茲的斗牛犬”。像赫胥黎一樣，約翰有時也以一種近于驚人的執著支持萊布尼茲；同樣，他與赫胥黎一樣，最終也完成了他的這一使命。

　　約翰的一個最重要的貢獻是通過他與洛必達侯爵（1661—1704年）的聯系完成的。洛必達侯爵是一個法國貴族和數學愛好者，他非常希望學習這一革命性的新的微積分理論。因此，侯爵聘用約翰·伯努利來為他提供各種有關微積分及任何數學新發現的論文。在某種意義上說，洛必達似乎購買了伯努利的數學研究權。1696年，洛必達匯編了伯努利的論著，出版了他第一部論微積分的書，題為《無窮小分析》。這部書是用本國語言，而不是用拉丁文寫的，除書名外，書中內容幾乎全部都是伯努利撰著的。

　　縱觀歷史，可以看到許多杰出的兄弟組合。從特洛伊戰爭中的阿伽門農和墨涅拉俄斯到航空先驅威爾伯·萊特和奧維爾·萊特兄弟，歷史上有許多兄弟為實現崇高目標而并肩努力。雅各布與約翰寫出了數學史中最重要的兄弟成功的故事，但我們也必須看到，他們兩人的關系并不和諧。恰恰相反，在數學中，他們兩人中每一個人都是另一個人的強勁競爭對手，兩人為了勝出對方一籌而斗力，甚至到了可笑的地步。

　　例如，有關懸鏈曲線的問題。所謂懸鏈曲線，就是一根鏈條，兩端固定，依其本身重量下垂的曲線。1690年，久負盛名的哥哥雅各布在一篇論文中提出了確定懸鏈曲線性質（即方程式）的問題。實際上，這一問題已存在多年，伽利略就曾推測過懸鏈曲線是一條拋物線，但問題依然懸而未決。雅各布覺得，應用奇妙的微積分新方法也許可以解決這一難題。

　　但遺憾的是，他的努力沒有取得結果。一年后，雅各布惱恨地看到他的弟弟約翰發表了這個問題的正確答案。而自命不凡的約翰，卻很難算是一個謙和的勝利者，他后來回憶說：

　　“我哥哥的努力沒有成功；而我卻幸運得很，因為我發現了解開這道難題的全部方法（我這樣說并非自夸，我為什么要隱瞞真相呢？）……為研究這道題，我整整一晚沒有休息……第二天早晨，我興沖沖地去見哥哥，他還在苦思這道難題，但一無進展。他像伽利略一樣，始終以為懸鏈曲線是一條拋物線。行了！行了！我對他說，不要再折磨自己，去證明懸鏈曲線是拋物線了，因為這是完全錯誤的�！�

　　有趣的是，約翰成功地解出這道難題所需要的時間：“整整一晚”，而雅各布卻花費了整整一年的時間，這實在算得上是一種“奇恥大辱”。

　　我們將在本章討論一個由伯努利兄弟兩人共同創立的偉大定理（也許是在少有的休戰期間創立的）。這個定理所涉及的是關于調和級數的性質問題，所謂“調和級數”，是一種具有特殊性質的無窮級數。雖然我們已見到過萊布尼茲所研究的一種特殊級數，但我們還是應首先對無窮級數問題作一番概述。

　　17世紀時，無窮級數僅僅被看作是無窮項的和。當然，不能保證這種級數一定會有一個有限和；例如，像1+2+3+4+5+……這樣的級數，如果我們繼續進行下去，其和顯然會不斷增大，并超過任何有限量。我們說，這種級數為“發散無窮級數”。

　　另一方面，也存在一種無窮多項的級數，其和為有限數。這種現象，初步看來，似乎自相矛盾，但仔細想一想，就會發現非常合理。例如，在

思是

　　我們前面所介紹的萊布尼茲級數就顯示了同樣的性質，級數的無窮多項的和等于一個（有限的）數2。我們說，這種級數為“收斂級數”，也就是說，不太正規地講，當我們增加更多的項時，它的和越來越接近某一特定的值。

　　無疑，數學中最重要的收斂級數是幾何級數，其形式為

　　在此，我們設-1＜a＜1。因此，幾何級數就是a及其所有高次冪的和。我們用一個“17世紀式”的論證方法來證明這種級數的收斂性，其證明如下：

　　由于S是原幾何級數的和，因此，我們可以認為
　　　　　　　　　　　　　　　
　　

　　就數學的精密性而言，對無窮級數收斂性的這一證明顯得十分幼稚，相比之下，現代數學對這個問題的論證就精妙得多。并且，這個證明還掩蓋了我們最初為什么要設-1＜a＜1的原因，雖然a=2這一幾何級數已經表明了這一假設的必要。在這種情況下，我們直接應用公式，就得到

　　也就是說， 2+4+8+16+……=-2。這是一個“雙重荒謬”的結果，一方面因為這個級數顯然是發散無窮級數，另一方面還因為人們無法想象一系列正數相加的結果竟然得出一個負數。因而，幾何級數的求和公式要求α必須位于-1與1之間。（對這一問題的更詳盡分析，通常需要應用微積分。）

　　上述兩個無窮級數說明了一般收斂級數的一個重要條件。對于第一個

近于零；因此，后面的各項可以越來越忽略不計。而另一方面，對于α=2的幾何級數來說，我們相加的各項則離零越來越遠——4，8，16，等等，其愈益增大的數值使其和不能等于一個有限數。

　　然而，遺憾的是，其逆命題卻是錯誤的。也就是說，有的無窮級數，即使其通項趨向于零，但其和卻趨向于無窮。這一事實并不是顯而易見的，

通項趨向于零，但它的和卻是無窮大。

　　伯努利發現了當今數學家稱之為“病態反例”的現象——即一個似乎違反直覺的特定例子，其古怪之至，堪稱“病態”。這一調和級數非常麻煩：要使其和不大于5，就必須將級數的前83項相加，因為

　　請注意一個突出的事實，在這一調和級數中，超過第83項以后的每一項

再加144項。由于其和增值非常緩慢，因此，要使級數和等于10，就必須將前12,367項相加，而要使級數和等于20，就要加2.5億項！人們似乎根本難以想象調和級數最終可能會超過一百，一千，甚至一萬億。

　　但事實的確如此！而這正是其之所以被稱為病態和伯努利的定理之所以值得我們注意的原因。

　　雖然這個證明是約翰·伯努利作出的，但卻刊載在哥哥雅各布1689年的《論無窮級數》一書中。出于少見的兄弟情誼，雅各布甚至在書的序言中承認了弟弟對這一證明方法的優先權。

　　約翰必須要證明調和級數向無窮發散。他的證明是以萊布尼茲的收斂

在本章前面已經討論過。此事本身就很奇怪，因為，人們不清楚，這一清晰易解的收斂級數怎么會成為古怪的調和級數的論證基礎呢？無論如何，約翰·伯努利作了如下推理。
　　

項的調和級數。將這一級數“……變為分子是1、2、3、4等等的分數”，就得到

　　約翰將這一級數作為后面的參考。

　　　　　　　　　　　

　　約翰接著將這一方程陣列的最左邊兩列相加，得到

　　C+D+E+F+……
　　　　　　　　　　　

另一方面，如果將這一方程陣列的最左邊和最右邊的兩列相加，他發現，
　　　　　　　　　　　

　　由于C+D+E+F+G+……既等于A，又等于1＋A，因而，約翰只能得出結論：1+A=A。正如他所說的那樣，“整體等于部分”。但是，顯然沒有一個有限數會等于大于自己的數。約翰·伯努利認為，這只能說明一個問題：即1+A是無窮大。而1+A則是調和級數的和，所以，他的證明完畢。

　　今天的數學家可以對這一證明提出一些公正的批評意見。伯努利是以一種“整體論”的態度來對待無窮級數的，他將其作為一個獨立個體而隨意處置。我們現在懂得，在處理這些數學問題時，必須特別慎重。并且，他證明調和級數發散性的方法與現代方法形成了鮮明的對照。今天的數學家采用下述方法證明：首先確定正整數N（不論其數值多大），并證明該級數必定大于N；那么，既然該級數大于任意正整數N，則這個級數一定趨向無窮。但是，約翰沒有這樣證明。相反，他用更加簡明的A=1+A來證明級數的發散性，對于現代讀者來說，這是證明量的無窮性的一個最獨特的方法。

　　我們必須承認，伯努利作出這一論證之后150年，才有真正精確的級數理論出現，考慮到這點，或許可以不致過分挑剔。并且，盡管有種種異議，但誰也無法否認約翰論證方法的巧妙。約翰的證明恰似數學王冠上的一顆明珠。

　　雅各布在其《論無窮級數》一書中就他弟弟的證明強調了一個非直觀的重要推斷，他寫道：“一個最后一項為零的無窮級數之和也許是有限的，也許是無窮的�！爆F代數學家稱贊他提出了無窮級數的“最后一項”問題，因為這些無窮級數的性質的確排除了任何最后項；然而，他的意思非常明確。他所強調的是，在無窮級數中，即使其中的某些項接近于零，其和仍然可能是無窮的。調和級數就是這種現象的首要例子，已如約翰所證明。

　　也許是因為這一結果太出乎意料了，雅各布情不自禁，揮筆寫下了一首數學短詩：

　　伯努利兄弟在他們時代的數學中留下了深刻的印記，其中包括調和級數和許多其他貢獻。但是，關于這對相互競爭，難以相處的兄弟，還必須要告訴讀者另一個故事，它肯定是在整個數學史中最引人入勝的一則故事。

　　故事開始于1696年6月，其時，約翰·伯努利在萊布尼茲的雜志《教師學報》上刊登了一個挑戰問題。顯然，公開挑戰的傳統是從菲奧爾和塔爾塔利亞時代開始的。雖然現在的論爭是在學術雜志上安靜地進行筆戰，但卻依然有力量成就或摧毀一個人的聲望，正如約翰自己所述：

　　“……肯定地說，正是擺在我們面前的那些困難同時也是有用的問題，激發著出類拔萃之輩為豐富人類的知識而奮斗，他們也因此一舉成名，流芳百世�！�

　　約翰提出的挑戰很精彩。他設想在地面上不同高度的兩個點A和B，并且，不要讓其中一個點直接位于另一點的上方。連接這兩個點，當然可以作出無限多的不同曲線，從直線、圓的弧線到無數種其他曲線和波浪線�，F在設想有一個球沿著一條曲線從A點滾向較低的B點。當然，球滾完全程所需要的時間取決于曲線的形狀。伯努利向數學界提出的挑戰是，找出一條曲線AMB，使球沿這條曲線滾完全程所用的時間最短（見圖8.3）。他稱這條曲線為“最速降線”，這個詞是從希臘文的“最短”和“時間”兩個詞合成而來的。

　　顯然，第一個猜想是連接A、B兩點作直線AMB。但是，約翰對試圖采用這一過于簡單化的方法提出了警告：

　　“……不要草率地作出判斷，雖然直線AB的確是連接A、B兩點的最短線路，但它卻不是所用時間最短的路線。而曲線AMB則是幾何學家所熟知的一條曲線。如果在年底之前還沒有其他人能夠發現這一曲線，我將公布這條曲線的名稱�！�

　　約翰定于1697年1月1日向數學界公布答案。但是，到最后期限截止時，他只收到了“著名的萊布尼茲”寄來的一份答案，并且，萊布尼茲

　　“謙恭地請求我延長最后期限到復活節，以便在公布答案時……沒有人會抱怨說給的時間太短了。我不僅同意了他的請求，而且還決定親自宣布延長期限，看看有誰能夠在這么長時間之后最終解出這道絕妙的難題�！�

　　然后，為確保不會使人誤解這道難題，約翰又重復了一遍：

　　“在連接已知兩點的無限多的曲線中……選擇一條曲線，如果用一根細管或細槽代替這條曲線，把一個小球放入細管或細槽中，放手讓它滾動，那么，小球將以最短的時間從一點滾向另一點�！�

　　此時，約翰開始熱心鼓吹獎勵解出他的最速降線問題的人。不要忘記，他自己是知道答案的，如此一來，他關于數學榮譽的一段話就不免有自詡之嫌：

　　“但愿有人能夠迅速摘取桂冠。當然，獎品既非金，也非銀，因為這些東西只能引起卑賤者的興趣……相反，由于美德本身就是最好的獎勵，而名望又是最強的刺激，所以，我們為高貴的得勝者所頒發的獎勵是榮譽、贊頌和認可……”

　　在這段話中，似乎約翰認為自己面對他可憐的哥哥雅各布，又一次贏得了勝利。但是，在他心里還有另外一個目標。約翰寫道：

　　“……很少有人能夠解出我們獨特的問題，即使那些自稱通過特殊方法……不僅深入探究了幾何學的秘密、而且還以一種非凡的方式拓展了幾何學的疆域的人。這些人自以為他們的偉大定理無人知曉，其實早已有人將它們發表過了�！�

　　還有誰能懷疑他所說的“定理”就是指的流數法，他所蔑視的目標就是艾薩克·牛頓呢？牛頓曾宣稱早在萊布尼茲1684年發表微積分論文之前就已發現了這一理論。無疑，約翰的挑戰目標非常明確，他把他的最速降線問題抄了一份，裝進信封，寄往英國。

　　當然，1697年，牛頓正在忙于造幣局的事務，而且，正如他自己所承認的那樣，他的頭腦已不似全盛期時那樣機敏了。當時，牛頓與他的外甥女凱瑟琳·康迪特一起住在倫敦。凱瑟琳記述了這樣的故事：

　　“1697年的一天，收到伯努利寄來的問題時，艾薩克·牛頓爵士正在造幣局里忙著改鑄新幣的工作，直到四點鐘才精疲力盡地回到家里，但是，直到解出這道難題，他才上床休息，這時，正是凌晨四點鐘�！�

　　即使是在晚年，并且，是在經過一天緊張的工作而感到精疲力竭的情況下，艾薩克·牛頓仍然成功地解出了眾多歐洲人都未能解出的難題！由此可見這位英國偉大天才的實力。他清楚感覺到他的名望與榮譽都受到了挑戰；而且，伯努利和萊布尼茲畢竟都還在急切地等待著公布他們自己的答案。因此，牛頓當仁不讓，僅僅用幾個小時就解出了這道難題。然而，牛頓有些被激怒了，據說他曾言道：“在數學問題上，我不喜歡……給外國人……戲弄�！�

　　我們再回到歐洲。復活節將近的時候，幾份答案寄到了約翰·伯努利的手里。他們每個人所尋求的曲線都是一條顛倒了的旋輪線，而這的確“是幾何學家所熟知的一條曲線”。我們注意到，帕斯卡和惠更斯就曾研究過這一重要曲線，但他們誰也沒有認識到旋輪線還是一條最快的下降曲線。約翰以一種夸張的口吻寫道：“……如果我明確說出惠更斯的……這一旋輪線就是我們所尋求的最速降線，你們一定會驚呆了�！�

　　到復活節時，挑戰期限截止。約翰一共收到了五份答案。其中包括他自己的答案和萊布尼茲的答案。他的哥哥雅各布寄來了第三份答案（這也許會使約翰感到沮喪），而洛皮塔侯爵則寄來了第四份答案。最后寄來的答案，信封上蓋著英國的郵戳。約翰打開后，發現答案雖然是匿名的，但卻完全正確。他顯然遇到了他的對手艾薩克·牛頓。答案雖然沒有署名，但卻明顯地出于一位絕頂天才之手。

　　據說（或許不盡可靠，但卻非常有趣），約翰半是羞惱，半是敬畏地放下這份匿名答案，會意地說：“我從他的利爪認出了這頭獅子�！�

　　在講到約翰對調和級數發散性的證明時，雅各布曾說過，“是我弟弟首先發現的”。如果雅各布認為是約翰第一個掌握了調和級數的奇特性質，他就完全錯了，因為至少有兩個前輩數學家曾證明過調和級數的發散性。這兩個數學家的證明各不相同，而且，也不同于上述約翰的證明，但每個人的證明都顯示了自己獨特的智慧。

　　最早對調和級數發散性作出證明的是14世紀的法國學者尼科爾·奧雷姆（約1323—1382年）。約1350年，奧雷姆寫出了一部非凡的著作，題為《歐幾里得幾何問題》。當然，這是一部非常古老的文獻，比卡爾達諾的《大衍術》還早了整整200年。盡管這部著作產生于我們也許可以稱之為歐洲數學的“石器時代”，但奧雷姆的著作中的確含有一些非常精彩的論題。

　　特別是，他論述了調和級數的性質。實際上，他的全部論證如下：

　　讀者感到有點兒迷惑是可以理解的。這個論證畢竟完全是用文字闡述的，是在符號代數出現之前幾百年寫出的。然而，只要經過一點兒“凈化”處理，這段文字就變成了一個非常簡單而巧妙的發散性證明了。實際上，

　　即，他說：
　　　　　　　　　　　　　

　　這一方程可以擴展為適用于任何整數k的一般公式：

　　例如，如果k=9，我們看到，

　　如果k=99，則

　　如果k=9999，我們得到

　　這樣，只要取調和級數中足夠多的項，我們就能夠保證其和大于5、50或5000，或一般地說，大于任何有限量。這種方法保證了所有調和級數都大于任何有限量，并因而趨向無窮。奧雷姆的證明巧妙、簡潔和易記，已寫入了現代大部分數學教科書中。但是，伯努利兄弟似乎不知道有這樣一個證明存在。

　　這一命題保證了在三個連續整數的倒數相加時，其和一定大于中間數字的倒數的三倍。我們可以用數字來檢驗，例如，
　　　　　　　　　　　　

　　這就是門戈利在他1647年對調和級數的簡短證明中所需要的初步命題。

定理 調和級數趨向無窮。

證明 設H為調和級數的和。通過對級數各項歸組和反復應用上述不等式，我們發現：
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　
　　等等。門戈利證明的精彩之處就在于它的自我復制性質。他每次將他的初步定理應用于調和級數，他就再一次遇到調和級數，但這一次則增加了一個單位。我們來看以上的不等式，我們發現，H大于1，大于2，大于3；而且，如果我們繼續重復這一過程，H大于任何有限量。因此，我們可以與門戈利一道得出結論，調和級數的和一定是無窮大。 證訖。

　　所以，約翰的偉大定理雖然證明方法有所不同，但奧雷姆和門戈利都確實先于他發現了調和級數的這一性質。并且，雅各布在《論無窮級數》一書中載入約翰的證明之后，便直接提出了他自己對調和級數發散性的證明。他的證明雖然帶有兄弟間爭強好勝的味道，但確是一個非常精彩的證明。然而，雅各布的證明似乎過于復雜，不便在本書介紹。

　　在《論無窮級數》一書中，雅各布在論證了調和級數之后，又進一步闡述了整數平方的倒數和問題。他發現，
　　　　　　　　　　

　　我們在這里再次應用了本章開始所介紹的萊布尼茲求和定理。在此，雅各布表明，上述級數趨向某一小于2的有限數。鑒于明顯的原因，這一證明收斂性的方法現在稱為“比較判別法”。雅各布的證明提供了一個實際應用比較判別法的早期例子。

　　雖然伯努利兄弟知道這一無窮級數是收斂級數，但他們未能找到其和的精確數值。雅各布帶著幾分絕望的懇求宣告了他的失�。骸叭绻�有人能夠發現并告知我們迄今為止尚未解出的難題的答案，我們將不勝感謝�！�

個勝過伯努利兄弟的天才來解出這一級數的和了。

　　有趣的是，1734年，一位師從約翰·伯努利的青年人終于解出了這道難題。在求這一級數和的過程中，猶如在數學的許多其他領域一樣，這個青年人最終超過了他的老師。實際上，他超過了曾經就數學研究寫過些什么的所有人。這個青年學生就是我們下一章偉大定理的創始人李昂納德·歐拉。